1.적분의 실생활 활용


1.미분법은 변하는 것의 정도 즉 변화율을 구하는데 쓰이는 반면 적분법은 변화량의 총합을 구하는데 유용한 수단으로 사용된다. 예를 들어 적분법은 변화를 다루는 여러 가지 자연 현상, 즉 가속도가 알려진 물체의 속도, 현재의 인구수와 그 변화율을 이용한 미래의 인구수, 방사능폐기물의 감쇄율에서 이것이 인체에 무해하게 될 시간, 댐에 작용하는 물의 힘 등을 계산하는데 사용된다. 이와 같이 적분은 수학이외에도 자연과학, 경제학, 환경문제 등 많은 분야에서 활용되고 있다.


2.미분과 적분은 계산에 있어서 대단히 중요한 자리를 차지하고 있다. 그 이유는 많은 자연현상들을 수학적으로 나타내면 미분방정식(differential equation)의 형태를 가지고 있을 때가 많기 때문이다.

예를 들어, 방사성 동위원소들의 반감기에 관련된 문제가 그렇고, 그 유명한 뉴턴 법칙과 맥스웰 방정식들이 그렇다. 또, 레이저(laser : light amplification by the stimulated emission of radiation)의 동작특성에서, 유체역학에서, 양자역학에서, 화합물들의 반응 속도에서, 전자회로나 반도체 내부에서 전자의 흐름에서, 소비자들의 행동 패턴에서, 동식물의 개체 수의 변화 특성에서 등등…. 끝이 없을 정도로 많은 현상들이 미분방정식의 형태를 가지고 있다.

뉴턴이나 라이프니츠와 같은 분들이 물리학을 연구하기 위해서 미적분이라는 수학을 만들어가면서 하지 않을 수 없었던 이유가 여기 있다. 많은 현상들의 특성이 미분방정식의 형태를 가지므로, 자연현상의 기술과 그 해답을 찾기 위해서는 미분 및 미분방정식을 푸는 중요한 기법인 적분에 대한 개념과 계산 기술이 필요했던 것이다.

물론 역사적으로 보면, 적분은 미분의 반대개념으로서가 아니라 면적을 구하는 방법으로서 먼저 그 개념이 등장했고, 미분보다 수학의 역사에서 먼저 등장한다. 나중에 뉴턴 시대에 이르러서 미분이 제대로 자리를 잡아가면서 적분도 또한 그 체계를 공고히 하게 되는데, 미분과 적분이 서로 반대의 작용을 하는 아주 밀접한 사이라는 것은 실로 놀라운 발견이었다.



2. 적분의 발전과정


아르키메데스(Archimedes ; B.C 287~212)

포물선과 직선으로 둘러싸인 부분의 넓이를 실진법(Mathod of Exhaustion)으로 구한것과 구의 부피와 겉넓이를 구한방법에서 그 기원을 찾을수 있다. 그가 부피를 계산한 과정이 우리가 공부하는 적분법과 상당히 유사하기 때문에 그를 적분론의 시조라고 부른다.

                   

많은 수학자들이 이나 사인함수와 관련된 도형의 넓이를 구하고 있었다.

                   

카발리에리(Cavalieri, F. B. ; 1598∼1647)

도형의 넓이나 부피를 구하는 여러 가지 방법 중에서 오늘날의 적분과 직접적인 관련이 있는 것은 카발리에리에 의하여 체계화되었다. ‘두 입체도형 사이에 단면적의 비가 일정하면 부피의 비도 단면적의 비와 같다.’는 카발리에리의 원리는 엄밀하게 정의된 적분을 직관적으로 받아들이는 데 도움이 된다.

다음은 카발리에리하면 떠오르는 그림이다.


뉴턴(Newton; 1642~1727)과 라이프니츠(Leibniz,G.W,;1646~1716)

정적분의 개념이 소개되고 적분법이 미분의 역연산이라는 정적분의 기본정리를 완성

뉴턴과 라이프니츠가 발견한 미적분 이론의 핵심은 도형의 넓이나 부피를 구하는 과정을 미분의 역연산으로 이해할 수 있다는 것이다. 접선의 기울기를 구하는 과정인 미분과 도형의 넓이를 구하는 과정인 적분은 서로 아무런 관련이 없어 보이기 때문에 적분이 미분의 역연산이라는 그들의 발견은 더욱 값진 것이다.

뉴턴과 라이프니츠가 발견한 이 원리에 의하면 넓이나 부피를 구하는 것은 미분의 역연산을 통한 기계적인 계산이 된다. 따라서 넓이를 계산하는 방법을 공부하기에 앞서 먼저 미분의 역연산에 대하여 간단하게 살펴봐야한다.


정적분의 정의는 점차 정교하게 발전하여 20세기 초반에 측도록이 탄생하게된다. 이와같이 태어난 측도론은 현대 해석학의 토대가 되었다.



3. 구체적인 예

CT와 구분구적법

교통사고 등으로 머리를 강하게 부딪쳤을 때에는 상태를 신중하게 살펴보아야 하는데 이는 외상이 거의 없어 보여도 내출혈이 있을 수 있기 때문이다. 이때, 머리의 내부 상황을 조사하기 위해 사용되는 것이 CT(컴퓨터 단층 촬영 장치)스캔인데 X선등으로 머리의 내부를 둥글게 자른 형태로 계속 찍는 것이다. 보통 우리들은 그중의 한 장을 보는 정도이지만 이 둥글게 자른 사진을 여러 장 종합하면 머리 내부가 입체적으로 보인다.

이 CT스캔은 두 가지 의미에서 적분과 공통점이 있다. 먼저 부분의 상태를 찍어서 종합하는 것이 적분적인 발상이고 다음으로 얇고 둥글게 잘라서 더하는 방법이 입체의 부피를 계산할 때 사용하는 적분의 가장 보편적인 방법이다.

과학 기술의 기본은 얇게 나누어서 종합한다는 것인데 의학이나 공학의 첨단 기술에도 이와같은 미분/적분의 사고법이 점점 도입되고 있다.



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